将均衡产量代入对应的激励约束可得固定费用f₁（r₁，r₂），f₂（r₁，r₂）。再将均衡产量与f₁（r₁，r₂），f₂（r₁，r₂）代入公有企业的目标函数，得到G^S（r₁，r₂）。由公有企业的目标函数极大化，即G^S（r₁，r₂）对r₁和r₂的一阶条件，可得分离合约下的最优均衡特许权费率为r₁^SP，r₂^SP，进而可得此时对应的固定费用为f₁^SP，f₂^SP（具体证明参看附录2）。将r₁^SP，r₂^SP代入G^S（r₁，r₂）可得分离合约下目标函数的最优值，记为G^SP。类似地可得分离合约下的期望社会福利，记为W^SP。

比较分离合约中不同类型民营企业面临的均衡特许权费率，可得如下引理。

引理1当民营化程度较低时，分离合约中低成本类型民营企业的特许权费率低于高成本类型的，即r₁^SP≤r₂^SP；当民营化程度较高时，低成本类型民营企业特许权费率高于高成本类型的，即r₁^SP＞r₂^SP。

引理1成立是因为高成本类型民营企业与低成本类型民营企业特许权费率都随着民营化程度提高而增长，且都存在上限。在增长过程中，高成本类型民营企业特许权费率虽然增速更快，但其上限较低。因此，低成本类型民营企业的特许权费率会在民营化程度较低时小于高成本类型的，在高成本类型民营企业的特许权费率达到上限后将其超越。

随着民营化程度逐渐增高，公有企业将更多的权重放在利润最大化上。根据文献[37]，参与生产的专利拥有者通过进行特许权收费，一方面可以通过授权费获得收益，另一方面可以通过提高竞争对手的边际成本，提高自身竞争优势获得收益。因此在分离合约中，民营化程度增高时，高成本类型民营企业与低成本类型民营企业的特许权费率都随之增高。引理1中，由于低成本类型民营企业面临激励相容约束，高成本类型民营企业特许权费率r₂的增高使得低成本类型民营企业的固定费用f₁随之增高（∂f₁/∂r₂＞0）。又由于同一合约中特许权费率与固定费用存在替代关系，f₁增高会降低r₁。所以r₂的增高通过固定费用的传导机制降低了r₁的增加幅度。相反，低成本类型民营企业的特许权费率不影响高成本类型民营企业的固定费用（∂f₂/∂r₁=0），所以不存在特许权费率间的反向作用。因此，高成本类型民营企业特许权费率的增长速度高于低成本类型的。

同时，因为专利对高成本类型民营企业的最大成本降幅小于低成本类型的，故高成本类型民营企业特许权费率的上限小于低成本类型的。综合以上两方面可得引理1。

比较分离合约与排他性合约中的均衡特许权费率。由于排他性合约不对高成本类型民营企业进行专利授权，在此仅讨论关于低成本类型民营企业的特许权费率比较，可得如下引理。

引理2对于任意民营化程度，分离合约中低成本类型民营企业的特许权费率不高于排他性合约中特许权费率，即r₁^SP≤r^EX。

直观来说，引理2成立是因为对于任意给定的民营化程度，一方面，排他性合约为了排除高成本类型的民营企业，所收取的特许权费率尽可能高。另一方面，分离合约为了让低成本类型民营企业接受合约｛r₁^SP，f₁^SP｝，所收取的特许权费率受到限制，不能太高，否则低成本类型民营企业有可能偏离，采取提供给高成本类型民营企业的合约｛r₂^SP，f₂^SP｝。因此r₁^SP≤r^EX。

2.4　混同合约

公有企业在混同合约下向不同类型的民营企业提供相同的二部定价合约｛r^P，f^P｝，目标函数变成在民营企业成本与产量预期下的函数。公有企业的期望利润为

π₁^P=q₁（a-q₁-Eq₂-c₁）+f^P+r^PEq₂

式中q₁是公有企业的产量；Eq₂是公有企业预期的民营企业产量，Eq₂=βq ₂ ^L +（1-β）q₂^H，其中q ₂ ^L 是民营企业为低成本类型时的产量，q₂^H是民营企业为高成本类型时的产量。

混同合约下，低成本类型企业的实际单位生产成本为r^P，相应的利润为

π ₂ ^L =q ₂ ^L （a-q₁-q ₂ ^L -r^P）-f^P

高成本类型民营企业的实际单位生产成本为c₂-e+r^P，相应的利润为

π₂^H=q₂^H（a-q₁-q₂^H-c₂+e-r^P）-f^P

高成本类型民营企业的成本大于低成本类型的，故均衡时利润不大于低成本类型民营企业，即π₂^H≤π ₂ ^L 。公有企业为保证高成本类型民营企业采取合约，设计专利合约时面临的约束为π₂^H≥π₂^NL。此外，固定费用满足f^P≥0。

期望社会福利为

公有企业的目标函数为

G^P=λπ₁^P+（1-λ）W^P    （11）

由两企业目标函数极大化的一阶条件可得混同合约下公有企业的产量为

式中Ec为民营企业的期望成本，Ec=βr^P+（1-β）（c₂-e+r^P）。

民营企业为低成本类型与高成本类型时的产量分别为

将q₁^P与q₂^PH代入π₂^H，令π₂^H=π₂^NL可得固定费用f^P（r^P）。再将f^P（r^P）与均衡产量代入公有企业的目标函数，得到G^P（r^P）。由公有企业的目标函数极大化，即G^P（r^P）对r^P的一阶条件，可得混同合约下的最优特许权费率为r^PO（具体证明参见附录3），进而可得与对应的固定费用为f^PO。将r^PO代入G^P（r^P）可得混同合约下目标函数的最优值，记为G^PO。类似可得混同合约下的期望社会福利，记为W^PO。

比较混同合约与分离合约的均衡特许权费率r^PO和（r₁^SP，r₂^SP），可得如下引理。

引理3当民营化程度较低时，r₁^SP≤r^PO≤r₂^SP；民营化程度较高时，r₂^SP≤r^PO≤r₁^SP；民营化程度适中时，max｛r₁^SP，r₂^SP｝≤r^PO。

引理3说明，当民营化程度较低时，混同合约中的特许权费率高于分离合约中低成本类型民营企业的特许权费率，低于高成本类型民营企业的。当民营化程度较高时，混同合约中的特许权费率低于分离合约中低成本类型民营企业的特许权费率，高于高成本类型的。当民营化程度适中时，混同合约的特许权费率高于分离合约的。

从上文的分析可知，当民营化程度较高时，在分离合约中，公有企业提升低成本类型民营企业特许权费率有利于降低其成本优势，进而提高自身利润。而当民营化程度较低时，提升高成本类型民营企业特许权费率有利于降低其产量，降低社会生产成本，进而提升社会福利。而当民营化程度适中时，公有企业的目标兼顾营利与社会福利最大化。一方面，营利目标要求尽量提高特许权费率来减小低成本民营企业的成本竞争优势，此时要求统一的特许权费率至少要高于分离合约中高成本类型民营企业的，后者恰恰相当于混同合约无需顾及低成本民营企业竞争威胁的情形。另一方面，社会福利目标要求尽量提高特许权费率来降低高成本民营企业的产量从而节约社会总成本、提升社会福利，此时要求统一的特许权费率至少要高于分离合约中的低成本类型民营企业的，后者恰恰相当于混同合约无需顾及高成本类型民营企业的情形。综合上述两个方面，当民营化程度适中时，为了兼顾营利与社会福利，混同合约下统一的特许权费率既高于分离合约的高成本类型民营企业也高于分离合约的低成本类型民营企业。

3　最优合约与专利授权及其福利分析

基于第2节4种情形下的均衡，本节对不同合约的均衡结果进行比较。从民营化程度λ和低成本民营企业概率β两个变量出发，对不同情形下公有企业的均衡回报进行比较，得到公有企业的最优合约，以及与最优合约对应的专利授权方式。可得如下3个命题。

命题1对于任意水平的民营化程度，分离合约优于混同合约。

证明给定0≤β≤1，对于任意属于[0，1]的λ，都有G^PO-G^SP≤0；仅当β=1且λ=0或者β=0时，G^PO-G^SP=0。证毕。

对公有企业而言，分离合约在任意民营化程度下都优于混同合约。当民营化程度较低时，特许权费率较低，此时分离合约通过赋予低成本民营企业更低费率的合约，刺激低成本民营企业产品生产，抑制高成本民营企业产品生产，使社会福利提升；伴随民营比率提升，特许权费率提升。此时通过提高费率，降低民营企业的产量，以维持自身利润优势是公有企业更好的选择。由于分离合约针对不同类型进行设计，充分获取竞争对手所有增加的利润，从而也是对利润更优的选择。因此，分离合约总是对专利拥有者更优的合约类型。

命题1表明专利拥有者对专利授权形式具有一致偏好，不随民营化程度的改变而改变。特别是λ=1时，本文模型简化成为纯民营企业间的博弈^[28]，结论也与文献[28]一致。因此，命题1是对其进行一般化的拓展，并证实了其相关结论的稳健性。

命题2存在临界的，当，分离合约优于排他性合约；当，排他性合约优于分离合约。

证明令G^EX=G^SP，可以解得临界值。当时，有G^EX-G^NL＞0，G^SP-G^EX＞0；当时，有G^SP-G^NL＞0，G^EX-G^SP＞0。证毕。

命题2揭示了民营化程度对企业专利授权决策的影响。λ较小更趋近零时，公有企业的目标函数赋予社会福利更高权重。由第2节可知，此时排他性合约和分离合约对应的专利授权方式都是特许权费率为零的单纯的固定费用合约。民营企业为高成本类型时，分离合约因向民营企业进行专利授权，极大地提高了总产量，故社会福利更高；当民营企业为低成本类型时，两种合约特许权费率都为零，对应相同产量，产生相同社会福利^⑤。因此只有当β=1，即民营企业全为低成本类型时，排他性合约才与分离合约产生相同社会福利。只要民营企业为高成本类型的概率不为零（β＜1），分离合约总能产生更高社会福利。

当λ较大更趋近1时，公有企业将更多目标权重放到利润最大化。公有企业在排他性合约与分离合约下利润相对大小取决于β的大小。β较大时，民营企业为低成本类型的概率更大，公有企业的竞争者具有更强竞争力的概率也更大。此时由引理2，排他性合约下的特许权费率高于分离合约中低成本类型民营企业的特许权费率。排他性合约下较高的特许权费率提高了公有企业的竞争优势，进而提高了利润。当然，排他性合约排除高成本类型的民营企业，使公有企业损失从高成本类型民营企业可以赚取的专利费用。在β较大时民营企业为高成本类型概率较小，排他性合约排除高成本类型民营企业的损失也较小。所以当β较大时，排他性合约可以带来更大的期望利润。相反，当β较小时，排他性合约相对于分离合约的收益较小，损失较大，于是分离合约占优。

在命题2基础上，注意到的大小受β和e的影响。民营企业为低成本类型概率越大，公有企业越倾向选择排他性合约，故临界越小。专利的质量越好，即e越大时，专利使得高成本类型民营企业降低的单位成本越多，分离合约带来的社会福利改善越显著，弥补了其利润相对于排他性合约的不足，故临界的越大。由此可得以下推论。

推论1  随着β的增长而趋于减小，随着e的增大而趋于增大。

考察第2节所得不同合约下的专利授权方式。需要注意到，在一定条件下最优专利授权的二部定价合约中特许权费用为零，此时合约退化为固定费用合约；同时，二部定价合约中固定费用也可能取值为零，此时合约退化为特许权收费合约。结合命题2最优合约的选取，得到如下命题。

命题3当λ较小时，公有企业最优专利授权方式是固定费用；λ适中时，最优专利授权方式是二部定价；λ较大时，最优专利授权方式是特许权收费。

图1为均衡专利授权方式的示意图。

图1　均衡专利授权方式

注：图中，以虚线为界，虚线上方为公有企业“排他性合约”占优—侧；虚线下方为公有企业“分离合约”占优—侧；“L”代表分离合约中低成本类型民营企业的合约，“H”代表分离合约中高成本类型民营企业的合约；“F”代表授权方式为单纯固定费用，即r=0，f＞0，“R”代表授权方式为单纯特许权收费，即r＞0，f=0，“T”代表授权方式为二部定价，即r＞0，f＞0。

无论均衡合约是排他性合约还是分离合约，当λ较大趋于1，即民营化程度较高时，企业选择的最优专利授权方式同Heywood等^[28]纯私营寡头模型的结论一致，均为固定费用为零的特许权收费合约。但当λ较小，即民营化程度较低时，企业会选择固定费用合约，与Heywood等^[28]的结论不同。这是因为当λ较大时，公有企业的民营化程度变高，目标趋于利润最大化。特许权收费可以增加民营企业单位成本，提高公有企业的竞争能力和利润，而固定费用合约无法做到。于是当λ较大时，公有企业趋于选择特许权收费，而当λ较小时，公有企业的民营化程度较低，目标趋于最大化社会福利。固定费用合约使得专利技术得以普及，而且没有提高民营企业边际成本，也不降低民营企业产量。于是相比于特许权收费，固定费用合约总能提高总产量和社会福利。

结合以上分析可知，民营化程度λ与民营企业为低成本类型的概率β直接影响了均衡时最优合约类型的选取。民营化程度λ极大地影响了专利授权的具体方式。

接下来比较和讨论不同类型合约对应的社会福利，可得如下命题。

命题4对于任意民营化程度，分离合约对应的社会福利不低于排他性合约。

证明对于任意λ与β，都有W^EX-W^NL≥0，W^SP-W^EX≥0，等号仅在部分范围。证毕。

命题4说明，分离合约产生的社会福利始终不低于排他性合约。一方面，当民营企业为低成本类型时，引理2说明分离合约中低成本类型民营企业所面临的特许权费率不高于排他性合约，因此对应的总产量不小于排他性合约，分离合约下消费者剩余较多。另一方面，当民营企业为高成本类型时，排他性合约排除了高成本类型的民营企业。专利的普及使得分离合约对应的总产量不小于排他性合约，消费者剩余较多。因此分离合约产生的消费者剩余不少于排他性合约。当分离合约下企业总利润大于排他性合约时，较多的消费者剩余对应着较高的社会福利。当分离合约下总利润小于排他性合约时，消费者剩余的正效应抵消了总利润的负效应，结果是分离合约对应更高的社会福利。于是分离合约对应的社会福利不低于排他性合约。

与命题4反映的分离合约和排他性合约对应的社会福利关系相比，分离合约和混同合约对应的社会福利高低关系较为复杂。

从消费者剩余来看，当民营化程度较低时，引理3说明混同合约对低成本类型民营企业收取的特许权费率高于分离合约时，于是对应的总产量小于分离合约的，消费者剩余较少；对高成本类型民营企业收取的特许权费率低于分离合约时，对应的总产量大于分离合约的，消费者剩余较多。此时混同合约对高成本类型民营企业对应消费者剩余的正效应抵消了对低成本类型民营企业对应消费者剩余的负效应，因此对应的消费者剩余多于分离合约时。当民营化程度适中时，引理3说明混同合约对应的特许权费率高于分离合约的，因此总产量与消费者剩余少于分离合约的。当民营化程度较高时，命题1说明分离合约优于混同合约，尽可能降低了市场竞争水平，于是分离合约下的消费者剩余少于混同合约。

从总利润来看，分离合约与混同合约总利润的比较与消费者剩余的比较相反：当民营化程度较低或者较高，以上分析可知混同合约对应更大的总产量，于是总利润小于分离合约；当民营化程度适中时，混同合约下特许权费率较高，总产量小于分离合约，于是总利润大于分离合约。

结合以上分析，当民营化程度很低或很高时，分离合约总利润大于混同合约，消费者剩余小于混同合约。总利润的正效应抵消了消费者剩余的负效应，分离合约对应的社会福利高于混同合约。随着民营化程度向中间水平过渡时，上述关系逐渐反转，分离合约下的社会福利低于混同合约。由此可得以下命题。

命题5存在临界的与，当或者，分离合约产生的社会福利高于混同合约，当，混同合约产生的社会福利高于分离合约。

证明令W^SP=W^PO，可解得临界值与。当或λ＞时，有W^PO-W^NL≥0，W^SP-W^PO＞0；当，有W^SP-W^NL≥0，W^PO-W^SP＞0。证毕。